Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .
Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.
Например:
Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.
Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.
Характерная особенность деления на 3 и на 9 .
На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.
Например :
Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.
Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .
Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.
Например :
Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.
Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.
Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.
Характерная особенность делимости на 6.
Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.
Например:
126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)
Характерная особенность делимости на 7.
Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.
Например :
Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.
Характерная особенность делимости на 11 .
На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.
Например:
Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.
Характерная особенность делимости на 25 .
На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.
Например:
9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.
Признак делимости
При́знак дели́мости - правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).
Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:
Признак делимости на 2
Признак делимости на 3
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 6
Признак делимости на 7
Признак делимости на 8
Признак делимости на 9
Признак делимости на 10
Признак делимости на 11
Признак делимости на 12
Признак делимости на 13
Признак делимости на 14
Признак делимости на 15
Признак делимости на 17
Признак делимости на 19
Признак делимости на 23
Признак делимости на 25
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10 n − 1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n − 1 .
Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр -
ЧИСТЕНСКИЙ УВК «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
I – III СТУПЕНЕЙ – ГИМНАЗИЯ»
НАПРАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИКА
«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ»
Работу выполнил
ученик 7а класса
Журавлев Давид
Научный руководитель
специалист высшей категории
Федоренко Ирина Витальевна
Чистенькое, 2013
Оглавление
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Делимость чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Упрощение признака делимости на 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Признак делимости на 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Простые признаки делимости на простые числа. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Признаки делимости на 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Признаки делимости на 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Признаки делимости на 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Признаки делимости на 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Старое и новое о делимости на 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Распространение признака делимости на 7 на другие числа. . . . . . 12
6. Обобщенный признак делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Курьез делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ВВЕДЕНИЕ
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В математике много разделов и один из них – делимость чисел.
Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. В некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время.
К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число. Некоторые из них более легкие - эти признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10 изучаются в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический. Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.
Цель работы: расширить представления о свойствах чисел, связанных с делимостью;
Задачи:
Познакомиться с различными признаками делимости чисел;
Систематизировать их;
Сформировать навыки применения вводимых правил, алгоритмов для установления делимости чисел.
Делимость чисел
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Пример 1.1
32 делится на 4, 16 делится на 4, значит, сумма 32 + 16 делится на 4.
Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность делится на это число.
Пример 1.2
777 делится на 7, 49 делится на 7, значит разность 777 – 49 делится на 7.
Делимость произведения на число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Пример 1.3
15 делится на 3, значит произведение 15∙17∙23 делится на 3.
Делимость числа на произведение. Если число делится на произведение, то оно делится на каждый из множителей этого произведения.
Пример 1.4
90 делится на 30, 30 = 2∙3∙5, значит 30 делится и на 2, и на 3, и на 5.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Он сформулировал следующий признак делимости, который носит его имя:
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9
В школе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0.
Признак делимости на 5. На 5 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или 5.
Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается четной цифрой: 2,4,6,8 или 0.
Признак делимости на 3 и 9. На 3 и 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится соответственно на 3 или на 9.
По записи числа (по его последним цифрам) можно так же установить делимость числа на 4, 25, 50, 8 и 125.
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50
На 4, на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25 или на 50.
Пример 1.2.1
Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится и на 4, и на 25, и на 50.
Пример 1.2.2
Число 81764 делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами 64 делится на 4.
Пример 1.2.3
Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125
На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.
Пример 1.3.1
Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8, и на 125.
Пример 1.3.2
Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.
Пример 1.3.3
Число 179 250 делится на 125, так как число, образованное тремя последними цифрами 250 делится на 125.
1.4 Упрощение признака делимости на 8
Вопрос о делимости некоторого числа сводится к вопросу о делимости на 8 некоторого трехзначного числа, но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.
На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.
Пример 1.4.1
Делится ли число 592 на 8?
Решение.
Отделяем от числа 592 единицы и половину их числа прибавляем к числу из следующих двух цифр (десятков и сотен).
Получаем: 59 + 1 = 60.
Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8.
Ответ: делится.
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д.
Используя свойство делимости числа на произведение, из вышеперечисленных признаков делимости получаем признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24 и т. д.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.
Пример 1.5.1
Число 31 242 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 12. На 12 делятся те, и только те числа, которые делятся на 4 и на 3.
Пример 1.5.2
Число 316 224 делится на 12, так как оно делится и на 4 и на 3.
Признак делимости на 15. На 15 делятся те, и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.
Пример 1.5.3
Число 812 445 делится на 15, так как оно делится и на 3 и на 5.
Признак делимости на 18. На 18 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.
Пример 1.5.4
Число 817 254 делится на 18, так как оно делится и на 2 и на 9.
Признак делимости на 45. На 45 делятся те, и только те числа, которые делятся на 5 и на 9.
Пример 1.5.5
Число 231 705 делится на 45, так как оно делится и на 5 и на 9.
Существует ещё один признак делимости чисел на 6.
1.6 Признак делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
Число сотен умножить на 2,
Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Пример 1.6.1
Делится ли число 138 на 6?
Решение.
Число сотен 1·2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Простые признаки делимости на простые числа
Число называется простым, если оно имеет только два делителя (единицу и само число).
2.1 Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
Число, стоящее до десятков умножить на два,
К результату прибавить оставшееся число.
Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет.
Пример 2.1.1
Делится ли число 4 690 на 7?
Решение.
Число, стоящее до десятков 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
2.2 Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Пример 2.2.1
Делится ли число 100397 на 11?
Решение.
Сумма цифр, стоящих на четных местах: 1+0+9=10.
Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 0+3+7=10.
Разность сумм: 10 – 10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
2.3 Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Пример 2.3.1
Число 858 делится на 13, так как 85 - 9∙8 = 85 – 72 = 13 делится на 13.
2.4 Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Пример 2.4.1
Определить, делится ли на 19 число 1026.
Решение.
В числе 1026 102 десятка и 6 единиц. 102 + 2∙6 = 114;
Аналогично 11 + 2∙4 = 19.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13
В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно:7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Значит, число 1001 делится и на 7, и на 11, и на 13.
Если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза: abc –трехзначное число; abc ∙1001 = abcabc .
Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13.
Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11, или на 13 к делимости на них некоторого другого числа - не более чем трехзначного.
Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.
Пример 3.1
Определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13.
Решение.
Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:
623 - (295 + 42) = 286.
Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.
Старое и новое о делимости на 7
Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:
Семь раз примерь, один раз отрежь.
Семь бед, один ответ.
Семь пятниц на неделе.
Один с сошкой, а семеро с ложкой.
У семи нянек дитя без глазу.
Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.
Первый признак делимости на 7 поясним на примере.
Возьмем число 5236. Запишем это число следующим образом:
5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6
и всюду основание 10 заменим основанием 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168
Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.
Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.
Видоизменение первого признака делимости на 7. Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Для выбранного ранее числа 5 236:
5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 – 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 6 = 7 – делится на 7, значит, 5 236 делится на 7.
Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме.
Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.
Пример 4.1
Делится ли на 7 число 37 184?
Решение.
4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6 + 8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1= 1; 1∙5 = 5; прибавление цифры 7 можно пропустить, так как из полученного результата вычитается цифра 7; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 – делится на 7, значит, число 37 184 делится на 7.
Третий признак делимости на 7. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.
Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.
Пример 4.2
Делится ли на 7 число 889?
Решение.
9∙2 = 18; 18 – 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 или
9∙2 = 18; (18 – 7 = 11) 11 – 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 – делится на 7, значит, число 889 делится на 7.
И ещё признаки делимости на 7. Если какое-либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, увеличенное на цифру десятков данного числа.
Пример 4.3
14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.
35 делится на 7, следовательно, на 7 делится число 53 + 3.
Если какое-либо трехзначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.
Пример 4.4
Число 126 делится на 7. Следовательно, на 7делится число 621 - (6 - 1), то есть 616.
Пример 4.5
Число 693 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и число 396 - (3 - 6), то есть 399.
Распространение признака делимости на 7 на другие числа
Изложенные три признака делимости чисел на 7 можно применять при определении делимости числа на 13, 17 и 19.
Для определения делимости данного числа на 13, 17 или 19 надо умножить крайнюю левую цифру испытуемого числа соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат опять умножить соответственно на 3, 7 или 9 и прибавить следующую цифру и т. д., чередуя вычитания и прибавления последующих цифр после каждого умножения. После каждого действия результат можно уменьшить или увеличить соответственно на число 13, 17, 19 или кратное ему.
Если окончательный результат делится (не делится) на 13, 17 и 19, то делится (не делится) и данное число.
Пример 5.1
Делится ли число 2 075 427 на 19?
Решение.
2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);
2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 – 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 – делится на 19, значит, 2 075 427 делится на 19.
Обобщенный признак делимости
Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d = 10n + 1, где n = 1, 2, 3,4, … (при больших значениях n теряется практический смысл признака).
101
101
1001
7, 11, 13
10001
73, 137
2)сложить грани через одну, начиная с крайней правой;
3) сложить остальные грани;
4)из большей суммы вычесть меньшую.
Если результат делится на р, то и данное число делится на р.
Так, для определения делимости числа на 11 (р =11) рассекаем число на грани по одной цифре (п = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11.
При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (р = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).
Пример 6.1
Выяснить делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (р = 73, 137, n = 4).
Решение.
Разбиваем число на грани: 837 3621 7250 4831.
Складываем грани через одну: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.
Вычитаем из большей суммы меньшую: 8452-8087 = 365.
365 делится на 73, но не делится на 137; значит, данное число делится на 73, но не делится на 137.
Второй группой «счастливых» делителей являются псе целые множители р числа d = 10n -1, где n = 1, 3, 5, 7,…
Число d = 10n -1 дает следующие делители:
n
d
p
1
9
3
3
999
37
5
99 999
41, 271
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2) все грани сложить.
Если полученный результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) и данное число.
Заметим, что 999 = 9∙111, значит, 111 делится на 37, но тогда и числа 222, 333, 444, 555, 666, 777 и 888 делятся на 37.
Аналогично: 11 111 делится на 41 и на 271.
Курьез делимости
В заключение хочется представить четыре изумительных десятизначных числа:
2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.
В каждом из них есть все цифры от 0до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.
Выводы
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 50, 125 и другие числа, причем признаки делимости на одно и то же число могут быть различными, а значит всегда есть место творчеству.
Работа имеет теоретический характер и практическое применение . Данное исследование будет полезным при подготовке к олимпиадам и конкурсам.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.
Литература
1. Н. Н. Воробьев «Признаки делимости» Москва «Наука» 1988
2. К. И. Щевцов, Г. П. Бевз «Справочник по элементарной математике» Киев «Наукова думка» 1965
3. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» Москва «Наука» 1986
4. Интернет ресурсы
Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.
Признак делимости чисел на 2
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
Признак делимости чисел на 3
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Признак делимости чисел на 4
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Признак делимости чисел на 5
Признак делимости чисел на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Признак делимости чисел на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Признак делимости чисел на 10
Признак делимости чисел на 11
На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Признак делимости чисел на 25
На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Признак делимости чисел на разрядную единицу
На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.
Признаки делимости чисел
– это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости
довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!
Признак делимости на 2
Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Другими словами, если последняя цифра числа равна 2
, 4
, 6
, 8
или 0
- число делится на 2, если нет, то не делится
Например, числа: 234
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
делятся на 2, потому что они чётные.
А числа: 235
, 137
, 2303
на 2 не делятся, потому что они нечетные.
Признак делимости на 3
У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27
(27:3=9 - делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6
(6:3=2 - тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10
и 5+6+6=17
(а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).
Признак делимости на 4
Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100
и 364
делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00
, а во втором на 64
, которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357
и 886
не делятся на 4, потому что ни 57
ни 86
на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.
Признак делимости на 5
И опять перед нами довольно простой признак делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Это значит, что любые числа, оканчивающиеся цифрами 0
и 5
, например 12355
и 430
, подпадают под правило и делятся на 5.
А, к примеру, 15493
и 564
не оканчиваются на цифру 5 или 0, а значит они не могут делиться на 5 без остатка.
Признак делимости на 6
Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3.
При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6.
Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.
Признак делимости на 7
Этот признак делимости более сложный: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
Звучит довольно запутанно, но на практике просто. Смотрите сами: число 95
9 делится на 7, потому что 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка). Причем если с полученным во время преобразований числом возникли сложности (из-за его размера сложно понять, делится оно на 7 или нет, то данную процедуру можно продолжать столько раз, сколько Вы сочтете нужным).
Например, 45
5 и 4580
1 обладают признаками делимости на 7. В первом случае все довольно просто: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Во втором случае мы поступим так: 4580
-2*1=4580-2=4578. Нам сложно понять, делится ли 457
8 на 7, поэтому повторим процесс: 457
-2*8=457-16=441. И опять воспользуемся признаком делимости, так как перед нами пока еще трехзначное число 44
1. Итак, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 делится на 7 без остатка, а значит и 45801 делится на 7.
А вот числа 11
1 и 34
5 не делятся на 7, потому что 11
-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34
-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).
Признак делимости на 8
Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000
или 1088
делятся на 8: первое оканчивается на 000
, у второго 88
:8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100
или 4757
не делятся на 8,так как числа 100
и 757
не делятся без остатка на 8.
Признак делимости на 9
Этот признак делимости схож с признаком делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например: 3987 и 144 делятся на 9, потому что в первом случае 3+9+8+7=27
(27:9=3 - делится без остака на 9), а во втором 1+4+4=9
(9:9=1 - тоже делится без остака на 9).
А вот числа: 235 и 141 на 9 не делятся, потому как 2+3+5=10
и 1+4+1=6
(а мы знаем, что ни 10 ни 6 не делятся на 9 без остатка).
Признаки делимости на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы
Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.
Другими словами, например, мы имеем такие числа: 6540
, 46400
, 867000
, 6450
. из них все делятся на 10
; 46400
и 867000
делятся еще и на 100
; и лишь одно из них - 867000
делится на 1000
.
Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030
и 793
не делятся 100
.
Признак делимости на 11
Для того, чтобы выяснить, делится ли число на 11, надо получить разность сумм четных и нечетных цифр этого числа. Если данная разность равна 0 или делится на 11 без остатка, то и само число делится на 11 без остатка.
Чтобы было понятнее, предлагаю рассмотреть примеры: 2
35
4 делится на 11, потому что (2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 тоже делится на 11, так как (9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
А вот 11
1 или 4
35
4 не делятся на 11, так как в первом случае у нас получается (1+1)-1
=1, а во втором (4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Признак делимости на 12
Число 12 является составным. Его признаком делимости является соответствие признакам делимости на 3 и на 4 одновременно.
Например 300 и 636 соответствуют и признакам делимости на 4 (последние 2 цифры это нули или делятся на 4) и признакам делимости на 3 (сумма цифр и первого и втророго числа делятся на 3), а занчит, они делятся на 12 без остатка.
А вот 200 или 630 не делятся на 12, потому что в первом случае число отвечает лишь признаку делимости на 4, а во втором - лишь признаку делимости на 3. но не обоим признакам одновременно.
Признак делимости на 13
Признаком делимости на 13 является то, что если число десятков числа, сложенное с умноженными на 4 единицами этого числа, будет кратно 13 или равно 0, то и само число делится на 13.
Возьмем для примера 70
2. Итак, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 делится без остатка на 13), значит и 70
2 делится на 13 без остатка. Еще пример - число 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Число 130 делится на 13 без остатка, а значит заданное число соответсвует признаку делимости на 13.
Если же взять числа 12
5 или 21
2, то получаем 12
+4*5=32 и 21
+4*2=29 соответсвенно, и ни 32 ни 29 не делятся на 13 без остатка, а значит и заданные числа не делятся без остатка на 13.
Делимость чисел
Как видно из вышеперечисленного, можно предположить, что к любому из натуральных чисел можно подобрать свой индивидуальный признак делимости или же "составной" признак, если число кратно нескольким разным числам. Но как показывает практика, в основном чем больше число, тем сложнее его признак. Возможно, время,потраченное на проверку признака делимости, может оказаться равно или больше чем само деление. Поэтому мы и используем обычно простейшие из признаков делимости.
