Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.
Обычно считают, что, в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса), при умножении на матрицу поворота вектора-столбца координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Любое вращение в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:
Вращение вокруг оси x:

Вращение вокруг оси y:

Вращение вокруг оси z:

После преобразований мы получаем формулы:
По оси Х
x"=x;
y":=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z":=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

По оси Y
x"=x*cos(L)+z*sin(L);
y"=y;
z"=-x*sin(L)+z*cos(L);

По оси Z
x"=x*cos(L)-y*sin(L);
y"=-x*sin(L)+y*cos(L);
z"=z;

Все три поворота делаются независимо друг от друга, т.е. если надо повернуть вокруг осей Ox и Oy, вначале делается поворот вокруг оси Ox, потом применительно к полученной точки делается поворот вокруг оси Oy.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox 0 y 0 z 0 и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox 0 y 0 z 0 в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:

- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Ox v y v z v , одна из осей которого (пусть первая ось Ox v) задает ориентацию оси поворота On;

- матрица поворота относительно оси On .

Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением

.

Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде

(1.11)

Направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .

Матричная форма формулы Эйлера

Пусть в системе координат СК m задана точка M, которая определена вектором

где – проекции вектора на оси системы координат СК m , что отмечено нижним индексом “m”.

Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СК m . Согласно формуле Эйлера имеем

. (1.12)

Здесь – вектор угловой скорости системы координат СК m относительно системы координат СК s , выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СК m .

Используя матричную форму векторного произведения, запишем

Запишем полученный результат в матричной форме

, (1.13)

Где (1.14)

Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

Формула Пуассона

В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде

Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие

В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.

Продифференцируем соотношение

Или в другой форме

(1.18)

Для пересчета векторов сил, моментов и т. д. из одной системы координат в другую необходимо вычислить матрицу перехода, элементами которой являются косинусы углов между осями исходной и повернутой систем координат. Эта матрица определяется последовательностью углов поворота, которые позволяют перейти от одной системы координат к другой. Осуществление такого перехода требует не больше трех поворотов системы координат. Выбор последовательности углов поворота обычно определяется физическим содержанием задачи. Эго могут быть углы, измеряемые с помощью приборов системы управления, углы, от которых зависят аэродинамические нагрузки и т. д.

В качестве примера рассмотрим расчет матрицы направляющих косинусов углов между осями начальной стартовой (инерциальной) 0о,х/„_у/„2/„ и связанной Охуг систем координат. Пусть начала обеих систем совпадают. Первый поворот осуществляется на угол ф вокруг инерциальной оси Оо,у7„ (рис. 1.5). Второй поворот происходит вокруг промежуточной оси 0(),2" на угол д. Наконец, третий поворот выполняется вокруг связанной оси Ох на угол 7. Таким образом, в результате

Рис. 1.5. Переход от стартовой системы координат к связанной последовательных поворотов на углы ф, д, 7 происходит переход от начальной стартовой системы координат Оок связанной Оху г (рис. 1.5). Именно эти углы обычно измеряются с помощью датчиков системы управления.

Рис. 1.6. Последовательные повороты на углы ф, &, 7

Угол ф между проекцией продольной оси ЛА Ох на плоскость Оо?х/„г 1 „ начальной стартовой системы координат и осью Оо,.т/„ называют углом рыскания. Угол д между продольной осью ЛА и плоскостью Оо/Л7„2/„ называют углом тангажа. Угол 7 между связанной осью Оу и плоскостью Оо?ху" называют углом крена. Эти углы, чаще всего используемые в задачах баллистики, отличаются от соответствующих углов, определяемых согласно ГОСТ’у 20058-74 в инерциальной системе координат, связанной с местной вертикалью.

Элементы матрицы направляющих косинусов представляют собой соответствующие проекции единичных векторов /, /, к, направленных по связанным осям, на начальные стартовые оси. Непосредственное вычисление указанных проекций достаточно сложно, поэтому предварительно рассмотрим матрицы перехода, порождаемые отдельными поворотами на углы ф, г), 7. Согласно изложенной методике, будем каждый раз проектировать единичные векторы, направленные по осям повернутой системы координат, на оси исходной системы координат (рис. 1.6). Тогда достаточно просто вычисляются матрицы направляющих косинусов, соответствующие последовательным поворотом на углы ф, д, 7:

Согласно рассматриваемому преобразованию системы координат, матрица направляющих косинусов, отвечающая переходу от начальной стартовой к связанной системе координат, будет вычисляться как произведение отдельных матриц:

Производя перемножение матриц, получим

Если в начальной стартовой системе координат задан некоторый вектор своими составляющими

то составляющие этого вектора в связанной системе координат

можно вычислить с помощью матрицы Ь: или

Формула (1.2.2) определяет преобразование вектора из начальной стартовой в связанную систему координат.

Переход от связанной к начальной стартовой системе координат производится с помощью обратной матрицы L~ l (или транспонированной матрицы // в силу ортонормированности матрицы L):

Пользуясь указанным способом, можно найти матрицу перехода от скоростной системы координат к связанной. При этом ограничимся случаем, когда ЛА имеет плоскость симметрии, а ориентация вектора скорости задается углами атаки а и скольжения ?3:

Пересчет произвольного вектора a v , заданного в скоростной системе координат своими составляющими

в связанную систему координат осуществляется по формуле

Таким образом, при заданных углах, определяющих положение одной системы координат по отношению к другой, всегда можно вычислить матрицу перехода как произведение отдельных матриц, отвечающих последовательным поворотам на эти углы.

Матрица поворот применяется для вращения системы координат или объекта, сцены.

Матрицы поворота вокруг основных осей.

Матрица поворота вокруг произвольной оси.

Обобщённая матрица поворота.

Хочется задавать положение объекта в пространстве однозначно. Достаточно очевидно что любое положение однозначно определяется 3 поворотами вокруг разных осей. Но встаёт вопрос в каком порядке вращать и как выбрать оси?

Обобщённую матрица поворота можно задать по разному. С одной стороны мы можем вращать объект вокруг неподвижных осей. С другой вокруг осей связанных с объектом ещё их называют локальными. Стоит вспомнить что операции умножения матриц не коммутативна поэтому для однозначного определения положения нужно знать не только 3 угла, но и схему умножения матриц.

Можно выделить 2 популярные схемы.
1) Матрица поворота через углы Эйлера.
2) Матрица поворота через углы летательного аппарата (ЛА): рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll).
В виду того что первая требует большого числа вычислений, то на практике обычно применяют вторую.

Матрица поворота через углы Эйлера.

Углы Эйлера - три угла однозначно определяющие ориентацию твёрдого тела, определяющие переход от неподвижной системы координат к подвижной.
Подвижная система координат это система координат привязанная к телу. Иногда говорят в мороженная в тело. Прежде чем дать определения углов нам понадобиться ещё одно. Линия узлов ON - линия пересечение плоскости OXY и Oxy

α (или φ) это угол между осью Оx и осью ON. Диапазон значений }