Матрица обратная к матрице системы имеет вид. Матричный метод решения слау: пример решения с помощью обратной матрицы. Как найти обратную матрицу

Похожие на обратные по многим свойствам.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)

    ✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy

    ✪ Обратная матрица #1

    ✪ Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

    ✪ Обратная Матрица

    Субтитры

Свойства обратной матрицы

  • det A − 1 = 1 det A {\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}}} , где det {\displaystyle \ \det } обозначает определитель .
  • (A B) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} для двух квадратных обратимых матриц A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} .
  • (A T) − 1 = (A − 1) T {\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} , где (. . .) T {\displaystyle (...)^{T}} обозначает транспонированную матрицу.
  • (k A) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} для любого коэффициента k ≠ 0 {\displaystyle k\not =0} .
  • E − 1 = E {\displaystyle \ E^{-1}=E} .
  • Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b - ненулевой вектор) где x {\displaystyle x} - искомый вектор, и если A − 1 {\displaystyle A^{-1}} существует, то x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса-Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде

A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма - O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2х2

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.}

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .

Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу.

Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицавырожденная).

2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицы.

3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу.

4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.

1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрицеединичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блокк простейшему виду. При этом блочная матрица приводится к виду, где- квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы.

3. Если , то блокравен обратной матрице, т.е.. Если, то матрицане имеет обратной.

В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блокк упрощенному виду(см. рис. 1.5). При этом блочная матрицапреобразуется к виду, где- элементарная матрица, удовлетворяющая равенству. Если матрицаневырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей. Тогда из равенстваследует, что. Если же матрицавырожденная, то ее упрощенный видотличается от единичной матрицы, а матрицане имеет обратной.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ и условия его применимости.

Матричными уравнениями называются уравнения вида: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C где матрица А,В,С известны,матрица Х не известна, если матрицы А и В не вырождены, то решения исходных матриц запишется в соответственном виде: Х=А -1 *С; Х=С*А -1 ; Х=А -1 *С*В -1 Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений. С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы . Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы . Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов , а матрица-столбец X – матрицей неизвестных .

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков.

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса .

12. Однородные СЛАУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛАУ.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

13 .Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР) и её нахождение. Представление общего решения однородной СЛАУ через ФСР.

Система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно зависимой на интервале (a , b ), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a , b ): для . Если равенство для возможно только при , система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно независимой на интервале (a , b ). Другими словами, функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), если существует равная нулю на (a , b ) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) линейно независимы на интервале (a , b ), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a , b ).

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

1 . Если столбцы - решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные - равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последнихстроках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений .

14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

15. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором . Числа называются координатами вектора .

Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторови.

2. Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору. Длины векторовиравны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины. Он сонаправлен с вектором, если k больше нуля, и направлен противоположно, если k меньше нуля.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

16 .Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением векторов а и в называется число,

Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.

Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.

Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.

17. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λnтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.

б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3компланарны.

теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Следствие.1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Матричная алгебра - Обратная матрица

Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной ), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной ) или сингулярной .

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n -го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца матрицы А :

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А .
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã , то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А , получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р. Вычислить матрицу, обратную данной.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ

Пусть имеем определитель третьего порядка: .

Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .

Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

. (1)

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.

Введём ещё одно понятие.

Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .

Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij .

Например,

Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:

Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:

Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

. (2)

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23 . Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.

Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.

Примеры.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E :

АA −1 = A −1 A = E.

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы - это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B ,

где
- матрица системы,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных коэффициентов.

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:

A -1 * A * X = A -1 * B

Зная, что A -1 * A = E , тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B .

Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B .

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0 . Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A . Если det A ≠ 0 , то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0 , то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

  1. Получаем определитель матрицы A . Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
  2. Находим транспонированную матрицу AT .
  3. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
  4. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C .

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  3. Вычисляем алгебраические дополнения.
  4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
  5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы .

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

Из 1й строки вычитаем 2ю:

От второй строки отнимаем 2 первых: