На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
В каждой части свободно выбрать точку M .
Найти значение функции в выбранных точках.
Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
Найти сумму всех произведений.
Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .

первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.

Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле

Пример 1.

где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):

Из уравнения прямой выразим y через x :

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L - часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;

б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

а в подынтегральные функции подставим

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

если L - часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам сводиться к вычислению обыкновенного определенного интеграла.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода под дуге :

(1)

Пусть уравнение кривой интегрирования задано в параметрическом виде:

где t – параметр.

Тогда из уравнений (2) имеем:

Из этих же уравнений, записанных для точек А и В ,

найдем значения t A и t B параметра, соответствующие началу и концу кривой интегрирования .

Подставив выражения (2) и (3) в интеграл (1), получим формулу для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода:

Если кривая интегрирования задана в явном виде относительно переменной y , т.е. в виде

y=f(x), (6)

то примем переменную x за параметр (t=x) и получим следующую запись уравнения (6) в параметрическом виде:

Отсюда имеем: , t A =x A , t B =x B , и криволинейный интеграл 2-го приводиться к определенному интегралу по переменной x :

где y(x) – уравнение линии по которой производится интегрирование.

Если уравнение кривой интегрирования АВ задано в явном виде относительно переменной x , т.е. в виде

x=φ(y) (8)

то примем за параметр переменную y , запишем уравнение (8) в параметрическом виде:

Получим: , t A =y A , t B =y B , и формула для вычисления интеграла 2-го рода примет вид:

где x(y) – уравнение линии АВ .

Замечания.

1). Криволинейный интеграл по координатам существует, т.е. существует конечный предел интегральной суммы при n →∞ , если на кривой интегрирования функции P(x, y) и Q(x,y) непрерывны, а функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными и .

2). Если кривая интегрирования замкнутая, то нужно следить направление интегрирования, поскольку

Вычислить интеграл , если АВ задана уравнениями:

а). (x-1) 2 +y 2 =1.

б). y=x

в). y=x 2

Случай А. Линия интегрирования есть окружность радиуса R=1 с центром в точке C(1;0) . Ее параметрическое уравнение:

Находим

Определим значения параметра t в точках А и В .

Точка А. t A =π .

Случай Б. Линия интегрирования парабола. Принимаем x за параметр. Тогда , , .

Получим:

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутому контуру и двойным интегралом по области Д , ограниченной этим контуром.

Если функция P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и непрерывны в области Д , ограниченной контуром L , то имеет место формула:

(1)

– формула Грина.

Доказательство.

Рассмотрим в плоскости xOy область Д , правильную в направлении координатных осей Ox и Oy .

Контур L прямыми x=a и x=b разделяется на две части, на каждой из которых y является однозначной функцией от x . Пусть верхний участок АДВ контура описывается уравнением y=y 2 (x) , а нижний участок АСВ контура – уравнением y=y 1 (x) .

Рассмотрим двойной интеграл

Учитывая, что внутренний интеграл вычисляется при x=const получим:

Но первый интеграл в этой сумме, как следует из формулы (7), есть криволинейный интеграл по линии ВДА , так как y=y 2 (x) – уравнение этой линии, т.е.

а второй интеграл есть криволинейный интеграл функции P(x, y) по линии АСВ , так как y=y 1 (x) – уравнение этой линии:

Сумма этих интегралов представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от функции P(x, y) по координате x .

В итоге получим:

(2)

Разбив контур L прямыми y=c и y=d на участки САД и СВД , описываемые соответственно уравнениями x=x 1 (y) и x=x 2 (y ) аналогично получим:

Сложив правые и левые части равенств (2) и (3), получим формулу Грина:

Следствие.

С помощью криволинейного интеграла 2-го рода можно вычислять площади плоских фигур.

Определим, какими для этого должны быть функции P(x, y) и Q(x, y) . Запишем:

или, применяя формулу Грина,

Следовательно, должно выполняться равенство

что возможно например, при

Откуда получим:

(4)

Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, уравнение которого задано в параметрическом виде:

Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования.

Мы установили, что по механическому смыслу криволинейный интеграл 2-го рода представляет работу переменной силы на криволинейном пути или другими словами, работу по перемещению материальной точки в поле сил. Но из физики известно, что работа в поле сил тяжести не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечной точек пути. Следовательно, имеются случаи, когда и криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования.

Определим условия, при которых криволинейный интеграл по координатам не зависит от пути интегрирования.

Пусть в некоторой области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и частные производные

И непрерывны. Возьмем в этой области точки А и В и соединим их произвольными линиями АСВ и AFB .

Если криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования, то

(1)

Но интеграл (1) есть интеграл по замкнутому контуру ACBFA .

Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода в некоторой области Д не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру в этой области равен нулю.

Определим, какие условия должны удовлетворять функции P(x, y) и Q(x, y) для того чтобы выполнялось равенство

, (2)

т.е. для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам не зависел от пути интегрирования.

Пусть в области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные первого порядка и непрерывны. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам

не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области Д выполнялось равенство

Доказательство.

Следовательно, выполняется равенство (2), т.е.

, (5)

для чего необходимо выполнение условия (4).

Тогда из уравнения (5) следует, что выполняется равенство (2) и, следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.

Таким образом, теорема доказана.

Покажем, что условие

выполняется в том случае, если подынтегральное выражение

является полным дифференциалом какой-либо функции U(x, y) .

Полный дифференциал этой функции равен

. (7)

Пусть подынтегральное выражение (6) является полным дифференциалом функции U(x, y) , т.е.

откуда следует, что

Из этих равенств найдем выражения для частных производных и :

, .

Но вторые смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, следовательно , что и требовалось доказать. криволинейных интегралов . Следует так же... приложения. Из теории криволинейных интегралов известно, что криволинейный интеграл вида (29 ...

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Реферат >> Математика

... (ед2) Нахождение площади криволинейного сектора.  = f()   О  Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную... градиента с производной по направлению. Кратные интегралы . Двойные интегралы . Условия существования двойного интеграла. Свойства...

Реализация математических моделей использующих методы интегрирования в среде MATLAB

Курсовая работа >> Информатика

... (i=1,2,…,n). Рис. 5 – Формула трапеций Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя... образом в символьном виде вычисляются любые кратные интегралы . 2. MATLAB – СРЕДА МОДЕЛИРОВАНИЯ MATLAB (Matrix ...

Действия с приближенными величинами

Реферат >> Математика

Различных уравнений, и при вычислении определенных интегралов , и в приближении функции. Рассмотрим различные способы...  x2… xk+m. В уравнении k чётно кратных и m нечётно кратных корней. Оно раскладывается на (k+m) уравнений...

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D .

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :

Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2.

где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) .

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

, если L - контур, который образуют линия y = 2 − |x | и ось Oy .

Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x < 0 .

Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат.

Кафедра «Высшая математика»

Криволинейные интегралы

Методические указания

Волгоград

УДК 517.373(075)

Рецензент:

старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Криволинейные интегралы: метод. указания / сост. М.И.Андреева,

О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.

Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме « Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».

В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.

Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.

технический университет, 2011

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L , f (P ) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах È А i – 1 A i , длины которых Dl i (i = 1, 2, …, n

при n ® ¥ и max Dl i ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах È А i – 1 A i (i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f (P ) по кривой L и обозначается

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.

Если дуга È АВ плоской кривой задана параметрически уравнениями где x (t ) и y (t t , причем x (t 1) = x A , x (t 2) = x B , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и x (t ), y (t ), z (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

в декартовых координатах

Если дуга ÈАВ плоской кривой L задана уравнением где y (x

и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:

При задании дуги ÈАВ плоской кривой L в виде x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ],
где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция,

и криволинейный интеграл вычисляется по формуле

(1.4)

Задание кривой интегрирования полярным уравнением

Если плоская кривая L задана уравнением в полярной системе координат r = r (j), j Î , где r (j) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(1.5)

Приложения криволинейного интеграла 1 рода

С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.

1. Длина l плоской или пространственной кривой L находится по формуле

2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZ образующей и расположенной в плоскости XOY направляющей L , заключенной между плоскостью XOY и поверхностью, задаваемой уравнением z = f (x ; y ) (f (P ) ³ 0 при P Î L ), равна

(1.7)

3. Масса m материальной кривой L с линейной плотностью m(P ) определяется формулой

(1.8)

4. Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) соответственно равны:

(1.9)

5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy , Oxz , Oyz и координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью m(x ; y ; z) определяются по формулам:

(1.11)

6. Для плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) моменты инерции относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:

(1.13)

7. Моменты инерции пространственной материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ; z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(1.14)

а моменты инерции относительно координатных осей равны:

(1.15)

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 РОДА

Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть ÈАВ – дуга кусочно-гладкой ориентированной кривой L , = (a x (P ); a y (P ); a z (P )) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах А i – 1 A i . Пусть – вектор с координатами Dx i , Dy i , Dz i (i = 1, 2, …, n ), и – скалярное произведение векторов и (i = 1, 2, …, n ). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при n ® ¥ и max ÷ ç ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах ÈА i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции (P ) по кривой L и обозначается

В случае, когда векторная функция задана на плоской кривой L , аналогично имеем:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением

(2.2)

где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L:

(2.3)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную область G , считается обход против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой С называется циркуляцией и обозначается

(2.4)

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое задание кривой интегрирования

Если ÈАВ ориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями , где х (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , причем то

(2.5)

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

(2.6)

Явное задание плоской кривой интегрирования

Если дуга ÈАВ L задана в декартовых координатах уравнением где y (x ) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(2.7)

При задании дуги ÈАВ плоской ориентированной кривой L в виде
x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ], где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула

(2.8)

Пусть функции непрерывны вместе со своими производными

в плоской замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривой С + . Тогда имеет место формула Грина:

Пусть G – поверхностно-односвязная область, и

= (a x (P ); a y (P ); a z (P ))

– заданное в этой области векторное поле. Поле (P ) называется потенциальным, если существует такая функция U (P ), что

(P ) = grad U (P ),

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P ) имеет вид:

rot (P ) = , где (2.10)

(2.11)

Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дуги М 0 М . Потенциал U (М ) векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле

(2.12)

где М 0 М – произвольная кривая, соединяющая фиксированную точку М 0 и переменную точку М . Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломаная М 0 М 1 М 2 М со звеньями, параллельными координатным осям, например:

3. примеры выполнения заданий

Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.

Решение. По формуле (1.3) сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае гладкой плоской явно заданной кривой:

где y = y (x ), x 0 ≤ x ≤ x 1 – уравнение дуги L кривой интегрирования. В рассматриваемом примере Находим производную этой функции

и дифференциал длины дуги кривой L

то, подставляя в это выражение вместо y , получаем

Преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t 2 = 1 + x , x = t 2 – 1, dx = 2t dt ; при x = 0 t = 1; а x = 1 соответствует . После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой L : x = cos 3 t , y = sin 3 t , .

Решение. Так как L – дуга гладкой плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

В рассматриваемом примере

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в формулу (1.1) и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии L с линейной плоскостью m.

Решение. Масса m дуги L с плотностью m(P ) вычисляется по формуле (1.8)

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной гладкой дуге кривой в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставляем эти выражения в формулу для массы:

Задание 4

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге L кривой 4x + y 2 = 4 от точки A (1; 0) до точки B (0; 2).

Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y :

и находить интеграл по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y :

где a x (x ; y ) = xy – 1, a y (x ; y ) = xy 2 .

С учетом задания кривой

По формуле (2.8) получаем

Пример 2 . Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

где L – ломаная ABC , A (1; 2), B (3; 2), C (2; 1).

Решение . По свойству аддитивности криволинейного интеграла

Каждый из интегралов- слагаемых вычисляем по формуле (2.7)

где a x (x ; y ) = x 2 + y , a y (x ; y ) = –3xy .

Уравнение отрезка прямой AB : y = 2, y ¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:

Для вычисления интеграла

составим уравнение прямой BC по формуле

где x B , y B , x C , y C – координаты точек B и С . Получаем

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y ¢ = 1.

Подставляем полученные выражения в формулу (2.7):

Задание 5

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L

0 ≤ t ≤ 1.

Решение . Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t Î [t 1 ; t 2 ], где x (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции t при t Î [t 1 ; t 2 ], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой

В рассматриваемом примере a x (x ; y ) = y ; a y (x ; y ) = –2x .

C учетом задания кривой L получаем:

Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл:

Задание 6

Пример 1. C + где С : y 2 = 2x , y = x – 4.

Решение. Обозначение C + указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)

Так как функции a x (x ; y ) = 2y – x 2 ; a y (x ; y ) = 3x + y и их частные производные непрерывны в плоской замкнутой области G , ограниченной контуром C , тоформула Грина применима.

Для вычисления двойного интеграла изобразим область G , предварительно определив точки пересечения дуг кривых y 2 = 2x и
y = x – 4, составляющих контур C .

Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:

Второе уравнение системы равносильно уравнению x 2 – 10x + 16 = 0, откуда x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Итак, точки пересечения кривых: A (2; –2), B (8; 4).

Так как область G – правильная в направлении оси Ox , то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем область G на ось OY и воспользуемся формулой

Так как a = –2, b = 4, x 2 (y ) = 4+y , то

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру где С – контур треугольника с вершинами A (0; 0), B (1; 2), C (3; 1).

Решение. Обозначение означает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру , формула Грина принимает вид

Изобразим область G , ограниченную заданным контуром.

Функции и частные производные и непрерывны в области G , поэтому можно применить формулу Грина. Тогда

Область G не является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямой x = 1 и представим G в виде G = G 1 È G 2 , где G 1 и G 2 области, правильные в направлении оси Oy .

Тогда

Для сведения каждого из двойных интегралов по G 1 и G 2 к повторному будем использовать формулу

где [a ; b ] – проекция области D на ось Ox ,

y = y 1 (x ) – уравнение нижней ограничивающей кривой,

y = y 2 (x ) – уравнение верхней ограничивающей кривой.

Запишем уравнения границ области G 1 и найдем

AB : y = 2x , 0 ≤ x ≤ 1; AD : , 0 ≤ x ≤ 1.

Составим уравнение границы BC области G 2 , используя формулу

BC : где 1 ≤ x ≤ 3.

DC : 1 ≤ x ≤ 3.

Задание 7

Пример 1. Найти работу силы L : y = x 3 от точки M (0; 0) к точке N (1; 1).

Решение . Работу переменной силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L определяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой L ) .

Так как векторная функция задана уравнением и дуга плоской ориентированной кривой определена явно уравнением y = y (x ), x Î [x 1 ; x 2 ], где y (x ) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

В рассматриваемом примере y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N = 1. Поэтому

Пример 2 . Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 + y 2 = 4 от точки M (0; 2) к точке N (–2; 0).

Решение . Используя формулу (2.3), получаем

В рассматриваемом примере дуга кривой L (ÈMN ) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнением x 2 + y 2 = 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x = R cost , y = R sint и воспользоваться формулой (2.5)

Так как x = 2cost , y = 2sint , , , получаем

Задание 8

Пример 1 . Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г :

Решение. Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура Г воспользуемся формулой (2.4)

Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контур Г , то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем

Кривая Г задана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоида z = x 2 – y 2 + 2 и цилиндра x 2 + y 2 = 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривой Г .

Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:
x = cos t , y = sin t , z = z . Выражение для z в параметрических уравнениях кривой получается подстановкой x = cos t , y = sin t в уравнение гиперболического параболоида z = 2 + cos 2 t – sin 2 t = 2 + cos 2t . Итак, Г : x = cos t ,
y = sin t , z = 2 + cos 2t , 0 ≤ t ≤ 2p.

Так как входящие в параметрические уравнения кривой Г функции
x (t ) = cos t , y (t ) = sin t , z (t ) = 2 + cos 2t являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра t при t Î , то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)

Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида

соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz . имеем

	6− ρ 2
	6− ρ 2
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z		6 ρ − ρ 2 d ρ =

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Если не учитывать симметрию, то

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.

3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f (x, y) определена вдоль плоской кусочно-

гладкой1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 ,... M n = B . На

каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку (x i , y i ) и вычислим значения функции f (x, y) в каждой из этих точек. Сумма

1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

n− 1
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

i = 0

где∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой

для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин
частичных дуг M i M i + 1 , i =
	0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i .
		0 ≤i ≤n −1
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1)
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 ,
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от

выбора точек (x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x , y ) dl .

Таким образом, по определению
Таким образом, по определению
n− 1
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i = 0

Функция f (x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,

кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В - конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.

Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x , y ) ≡ 1 для (x , y ) L , то

получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа

l = ∫ dl.


Действительно, из определения криволинейного интеграла следует,
	dl = lim n − 1
	dl = lim n − 1	∆l	Lim l = l .
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i = 0

3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа
аналогичны свойствам определенного интеграла:
1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.

2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа.
				и L , не
3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L				и L , не

имеющие общих внутренних точек, то

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.

4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x , y ) в

произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,

независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть

	f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl .

3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа
сводится к вычислению определенных интегралов.
	x= x(t)
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями		y= y(t)

Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и

концу (точка В )

[α , β ]

x (t ), y (t ) и

производные

x (t), y (t)

Непрерывны,

f (x , y ) -

непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления

функций одной переменной известно, что

dl = (x (t))

+ (y (t ))

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t))

(x (t )

+ (y (t ))

∫ x2 dl,

Пример 3.1.

Вычислить

окружности

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y= a sin t

Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

и по формуле (3.4) получаем

Cos 2t )dt =

sin 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sin π

L задана

уравнением

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

непрерывна вместе со своей производной y

(x ) при a ≤ x ≤ b , то

dl =

1+ (y (x ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x))

(y (x ))

L задана

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x (y )

уравнением

непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то

dl =

1+ (x (y ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y)

1 + (x (y ))

Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы

2 x от

точки А (0,0) до точки В (2,2).

Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя

формулы (3.5) и(3.6)

1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x ,

dl =

1+ 2 x dx ,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx =

1 (2x + 1)

2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как

x = 2 , x

Y, dl

1 + y

	y 1 + y 2 dy =	(1 + y	/ 2 2
∫ ydl = ∫
		3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x , y , z ) по

пространственной кусочно-гладкой кривой L :

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

α ≤ t ≤ β , то

dl =

(x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

∫ f (x, y, z) dl =

= ∫

dt .

f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

x= x(t) , y= y(t)

z= z(t)

Пример 3.3. Вычислить∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой



x= t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y = t sin t	0 ≤ t ≤ 2 π.

z = t

	x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 ,

	dl =	(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt .

Теперь по формуле (3.7) имеем

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

2 + t 2 dt =

T 2 )

= ∫

t 2 + t

dt =

4 π

− 2 2

цилиндрической

поверхности,

которая составлена из перпендикуляров к

плоскости xOy ,

восстановленных в точках

(x , y )

L = AB

и имеющих

представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ (x , y )

линейная плотность которой меняется по закону ρ (x , y ) = 2 y .

Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как

1+ t

dt ,

x (t) = 1, y (t) = t , dl =