Задачи на движении в одном направлении относятся к одному из трех основных видов задач на движение.
Сейчас мы будем говорить о задачах, в которых объекты имеют разные скорости.
При движении в одном направлении объекты могут как сближаться, так и удаляться.
Здесь рассмотрим задачи на движение в одном направлении, в которых оба объекта выезжают из одного пункта. В следующий раз речь пойдет о движении вдогонку, когда объекты движутся в одном направлении из разных пунктов.
Если два объекта выехали из одного пункта одновременно , то, поскольку они имеют разные скорости, объекты удаляются друг от друга.
Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если из одного пункта выехал один объект, а спустя некоторое время в том же направлении вслед за ним выехал другой объект, то они могут как сближаться, так и удаляться друг от друга.
Если скорость объекта, движущегося впереди, меньше движущегося вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.
Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если скорость объекта, который идет впереди, больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет догнать первого и они удаляются друг от друга.
Скорость удаления находим аналогично — из большей скорости вычитаем меньшую:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Скорость, время и расстояние связаны между собой :
Задача 1.
Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч. Какое расстояние будет через ними через 4 часа?
Решение:
Условие задачи удобнее всего записать в виде таблицы:
1) 15-12=3 (км/ч) скорость удаления велосипедистов
2) 3∙4=12 (км) такое расстояние будет между велосипедистами через 4 часа.
Ответ: 12 км.
Из пункта А в пункт В выехал автобус. Через 2 часа вслед за ним выехал автомобиль. На каком расстоянии от пункта А автомобиль догонит автобус, если скорость автомобиля равна 80 км/ч, а скорость автобуса — 40 км/ч?
1) 80-40=40 (км/ч) скорость сближения автомобиля и автобуса
2) 40∙2=80 (км) на таком расстоянии от пункта А находится автобус, когда автомобиль выезжает из А
3) 80:40=2 (ч) время, через которое автомобиль догонит автобус
4) 80∙2=160 (км) расстояние, которое пройдёт автомобиль от пункта А
Ответ: на расстоянии 160 км.
Задача 3
Из села на станцию одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Через 2 часа велосипедист опережал пешехода на 12 км. Найти скорость пешехода, если скорость велосипедиста 10 км/ч.
Решение:
1) 12:2=6 (км/ч) скорость удаления велосипедиста и пешехода
2) 10-6=4 (км/ч) скорость пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.
Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.
Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу.
Четвертая задача
Коля едет на работу на машине со скоростью км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии км.
Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?
Посчитал? Сравним ответы - у меня получилось, что Вова догонит Колю через часа или через минут.
Сравним наши решения...
Рисунок выглядит вот таким образом:
Похож на твой? Молодец!
Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время, которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи (на рисунке оно обозначено точкой). Составляя уравнения, возьмем время за.
Итак, Вова до места встречи проделал путь. Коля до места встречи проделал путь. Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.
Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь () на рисунке изображен как отрезок. А из чего состоит путь Вовы ()? Правильно, из суммы отрезков и, где - изначальное расстояние между ребятами, а равен пути, который проделал Коля.
Исходя из этих выводов, получаем уравнение:
Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?
часа или минут минут.
Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!
А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма - приведение всех величин к одинаковой размерности.
Правило трех «Р» - размерность, разумность, расчет.
Размерность.
Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).
Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.
Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу - ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:
Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.
А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и % неверный результат.
Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.
Единицы измерения длины:
сантиметр = миллиметров
дециметр = сантиметров = миллиметров
метр = дециметров = сантиметров = миллиметров
километр = метров
Единицы измерения времени:
минута = секунд
час = минут = секунд
сутки = часа = минут = секунд
Совет: Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что минут это четверть циферблата, т.е. часа, минут это треть циферблата, т.е. часа, а минута это часа.
А теперь совсем простенькая задача:
Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью км/ч на протяжении минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?
Посчитал? Правильный ответ - км.
минут - это час, и еще минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что минут - четверть часа), соответственно - мин = ч.
Разумность.
Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)
Расчет.
Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же - если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.
«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»
Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.
Первая задача
Из пункта в пункт, расстояние между которыми км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на минут позже, чем мотоциклист.
Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать - прямая, пункт, пункт, две стрелочки…
В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.
Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.
Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из компонентов: скорость, время и путь . Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.
Правда, мы добавим еще один столбец - имя , про кого мы пишем информацию - мотоциклист и велосипедист.
Так же в шапке укажи размерность , в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?
У тебя получилась вот такая таблица?
Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.
Первое, что мы имеем - это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен км. Вносим!
Возьмем скорость велосипедиста за, тогда скорость мотоциклиста будет …
Если с такой переменной решение задачи не пойдет - ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!
Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа - время. Как найти время, когда есть путь и скорость?
Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.
Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.
Что мы можем на нем отразить?
Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.
Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.
Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?
Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени - минут.
Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.
Магия формул: составление и решение уравнений - манипуляции, приводящие к единственно верному ответу.
Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение .
Составление уравнения:
Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?
Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!
Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.
Это уравнение - рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему « ».
Приводим слагаемые к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.
Решение уравнения:
Из этого уравнения мы получаем следующее:
Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:
Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!
Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за? Правильно, скорость велосипедиста.
Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ - км/ч.
Вторая задача
Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Напоминаю алгоритм решения:
- Прочитай задачу пару раз - усвой все-все детали. Усвоил?
- Начинай рисовать рисунок - в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
- Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?).
- Пока все это пишешь, думай, что взять за? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок - помни о «3Р»!
- Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста - км/ч.
-«Какого цвета твоя машина?» - «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы
Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!
Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»
Понял, о чем я?
Именно! Полученный - это не всегда ответ на поставленный вопрос!
Вдумчиво читай вопросы - возможно, после нахождения тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить км/ч, как в нашей задаче.
Еще один момент - часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.
Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.
Задачи на движение по кругу
Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.
Задача №1
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт и из пункта следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Решение задачи №1
Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:
Между встречами велосипедист проехал расстояние, а мотоциклист - .
Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:
Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили - спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.
Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:
Задачи для самостоятельной работы:
- Два мо-то-цик-ли-ста стар-ту-ют од-но-вре-мен-но в одном на-прав-ле-нии из двух диа-мет-раль-но про-ти-во-по-лож-ных точек кру-го-вой трас-сы, длина ко-то-рой равна км. Через сколь-ко минут мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-ют-ся в пер-вый раз, если ско-рость од-но-го из них на км/ч боль-ше скорости дру-го-го?
- Из одной точки кру-го-вой трас-сы, длина ко-то-рой равна км, од-н-времен-но в одном на-прав-ле-нии стар-то-ва-ли два мотоциклиста. Ско-рость пер-во-го мотоцикла равна км/ч, и через минут после стар-та он опе-ре-дил вто-рой мотоцикл на один круг. Най-ди-те ско-рость вто-ро-го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.
Решения задач для самостоятельной работы:
- Пусть км/ч — ско-рость пер-во-го мо-то-цик-ли-ста, тогда ско-рость вто-ро-го мо-то-цик-ли-ста равна км/ч. Пусть пер-вый раз мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-ют-ся через часов. Для того, чтобы мо-то-цик-ли-сты по-рав-ня-лись, более быст-рый дол-жен пре-одо-леть из-на-чаль-но раз-де-ля-ю-щее их рас-сто-я-ние, рав-ное по-ло-ви-не длины трас-сы.
Получаем, что время равно часа = минут.
- Пусть ско-рость вто-ро-го мотоцикла равна км/ч. За часа пер-вый мотоцикл про-шел на км боль-ше, чем вто-рой, соответственно, получаем уравнение:
Скорость второго мотоциклиста равна км/ч.
Задачи на течение
Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.
Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, - это стоячая вода.
Скорость течения в озере равна .
Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь - налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.
А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл...
Это происходит потому что у реки есть скорость течения , которая относит твой плот по направлению течения.
Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) - он движется со скоростью течения.
Разобрался?
Тогда ответь вот на какой вопрос - «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?
Здесь возможно два варианта.
1-й вариант - ты плывешь по течению.
И тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.
2-й вариант - ты плывешь против течения.
Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость - скорость течения.
Допустим, тебе надо проплыть км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?
Решим задачку и проверим.
Добавим к нашему пути данные о скорости течения - км/ч и о собственной скорости плота - км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?
Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению - час, а против течения аж часа!
В этом и есть вся суть задач на движение с течением .
Несколько усложним задачу.
Задача №1
Лодка с моторчиком плыла из пункта в пункт часа, а обратно - часа.
Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде - км/ч
Решение задачи №1
Обозначим расстояние между пунктами, как, а скорость течения - как.
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов |
|
| A -> B (против течения) | 3 | ||
| B -> A (по течению) | 2 |
Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:
Что мы брали за?
Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:)
Скорость течения равна км/ч.
Задача №2
Байдарка в вышла из пункта в пункт, расположенный в км от. Пробыв в пункте час минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт в.
Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки км/ч.
Решение задачи №2
Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.
Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.
Переведем это в часы:
час минут = ч.
Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за.
Пусть - собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна, а против течения равна.
Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов |
|
| Против течения | 26 | ||
| По течению | 26 |
Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:
Все ли часов она плыла? Перечитываем задачу.
Нет, не все. У нее был отдых час минут, соответственно, из часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:
ч байдарка действительно плыла.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение.
С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня км/ч.
Подведем итоги
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Задачи на движение. Примеры
Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.
Движение с течением
Одни из самых простых задач - задачи на движение по реке . Вся их суть в следующем:
- если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
- если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.
Пример №1:
Катер плыл из пункта A в пункт B часов а обратно - часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде км/ч.
Решение №1:
Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения - как.
Все данные из условия занесем в таблицу:
| Путь S | Скорость v, км/ч |
Время t, часов | |
| A -> B (против течения) | AB | 50-x | 5 |
| B -> A (по течению) | AB | 50+x | 3 |
Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:
На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково.
Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:
Часто приходится использовать и формулу для времени:
Пример №2:
Против течения лодка проплывает расстояние в км на час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна км/ч.
Решение №2:
Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на час больше, чем время по течению.
Это записывается так:
Теперь вместо каждого времени подставим формулу:
Получили обычное рациональное уравнение, решим его:
Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: км/ч.
Относительное движение
Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:
- сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
- разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.
Пример №1
Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями км/ч и км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами км?
I способ решения:
Относительная скорость автомобилей км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:
II способ решения:
Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его. Тогда первый автомобиль проехал путь, а второй - .
В сумме они проехали все км. Значит,
Другие задачи на движение
Пример №1:
Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью км/ч.
В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.
Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше км/ч.
Решение №1:
Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа - второго:
Упростим выражение в правой части:
Поделим каждое слагаемое на АВ:
Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:
Из них только один больше.
Ответ: км/ч.
Пример №2
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Здесь будем приравнивать расстояние.
Пусть скорость велосипедиста будет, а мотоциклиста - . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист - .
При этом они проехали равные расстояния:
Между встречами велосипедист проехал расстояние, а мотоциклист - . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:
Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили- спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.
Полученные уравнения решаем в системе:
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Основная формула
2. Относительное движение
- Это сумма скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
- разность скоростей, если тела движутся в одном направлении.
3. Движение с течением :
- Если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
- если движемся против течения, из скорости вычитается скорость течения.
Мы помогли тебе разобраться с задачами на движение...
Теперь твой ход...
Если ты внимательно прочитал текст и прорешал самостоятельно все примеры, готовы спорить, что ты все понял.
И это уже половина пути.
Напиши внизу в комментариях разобрался ли ты с задачами на движение?
Какие вызывают наибольшие трудности?
Понимаешь ли ты, что задачи на "работу" - это почти тоже самое?
Напиши нам и удачи на экзаменах!
В предыдущих задачах на движение в одном направлении движение тел начиналось одновременно из одного и того же пункта. Рассмотрим решение задач на движение в одном направлении, когда движение тел начинается одновременно, но из разных пунктов.
Пусть из пунктов А и В, расстояние между которыми 21 км, выходят одновременно велосипедист и пешеход и идут в одном направлении: пешеход со скоростью 5 км в час, велосипедист 12 км в час
12 км в час 5 км в час
А В
Расстояние между велосипедистом и пешеходом в момент начала их движения 21 км. За час их совместного движения в одном направлении расстояние между ними уменьшится на 12-5=7 (км). 7 км в час – скорость сближения велосипедиста и пешехода:
А В
Зная скорость сближения велосипедиста и пешехода, нетрудно узнать, на сколько километров уменьшится расстояние между ними через 2 ч, 3 ч их движения в одном направлении.
7*2=14 (км) – на 14 км уменьшится расстояние между велосипедистом и пешеходом через 2 ч;
7*3=21 (км) – на 21 км уменьшится расстояние между велосипедистом и пешеходом через 3 ч.
С каждым часом расстояние между велосипедистом и пешеходом уменьшается. Через 3 ч расстояние между ними становится равным 21-21=0, т.е. велосипедист догонит пешехода:
А В
В задачах “на догонку” имеем дело с величинами:
1) расстояние между пунктами, из которых начинается одновременное движение;
2) скорость сближения
3) время с момента начала движения до момента, когда одно из движущихся тел догонит другое.
Зная значение двух из этих трех величин, можно найти значение третьей величины.
В таблице записаны условия и решения задач, которые можно составить на “на догонку” велосипедистом пешехода:
|
Скорость сближения велосипедиста и пешехода в км в час |
Время с момента начала движения до момента, когда велосипедист догонит пешехода, в часах |
Расстояние от А до В в км | ||
Выразим зависимость между этими величинами формулой. Обозначим черезрасстояние между пунктамии,- скорость сближения,время с момента выхода до момента, когда одно тело догонит другое.
В задачах “на догонку” чаще всего скорость сближения не дается, но ее легко можно найти по данным задачи.
Задача. Велосипедист и пешеход вышли одновременно в одном направлении из двух колхозов, расстояние между которыми 24 км. Велосипедист ехал со скоростью 11 км в час, а пешеход шел со скоростью 5 км в час. Через сколько часов после своего выхода велосипедист догонит пешехода?
Чтобы найти, через сколько времени после своего выхода велосипедист догонит пешехода, нужно расстояние, которое было между ними в начале движения, разделить на скорость сближения; скорость сближения равна разности скоростей велосипедиста и пешехода.
Формула решения: =24: (11-5);=4.
Ответ. Через 4 ч велосипедист догонит пешехода. Условия и решения обратных задач записаны в таблице:
|
Скорость велосипедиста в км в час |
Скорость пешехода в км в час |
Расстояние между колхозами в км |
Время в час | ||
Каждая из этих задач может быть решена и другими способами, но они будут по сравнению с данными решениями нерациональными.
§ 1 Формула одновременного движения
С формулами одновременного движения мы сталкиваемся при решении задач на одновременное движение. Умение решать ту или иную задачу на движение зависит от некоторых факторов. Прежде всего, необходимо различать основные типы задач.
Задачи на одновременное движение условно делятся на 4 типа: задачи на встречное движение, задачи на движение в противоположных направлениях, задачи на движение вдогонку и задачи на движение с отставанием.
Основными компонентами этих типов задач являются:
пройденный путь - S, скорость - ʋ, время - t.
Зависимость между ними выражается формулами:
S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.
Помимо названных основных компонентов при решении задач на движение мы можем столкнуться с такими компонентами, как: скорость первого объекта - ʋ1, скорость второго объекта - ʋ2, скорость сближения - ʋсбл., скорость удаления - ʋуд., время встречи - tвстр., первоначальное расстояние - S0 и т.д.
§ 2 Задачи на встречное движение
При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость сближения - ʋсбл.; время до встречи - tвстр.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; весь путь, пройденный обоими объектами - S.
Зависимость между компонентами задач на встречное движение выражается следующими формулами:
1.первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам: S = ʋсбл. · tвстр. или S = S1 + S2;
2.скорость сближения находится по формулам: ʋсбл. = S: tвстр. или ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2;
3.время встречи вычисляется следующим образом:
Два теплохода плывут навстречу друг другу. Скорости теплоходов 35 км/ч и 28 км/ч. Через какое время они встретятся, если расстояние между ними 315 км?
ʋ1 = 35 км/ч, ʋ2 = 28 км/ч, S = 315 км, tвстр. = ? ч.
Чтобы найти время встречи, необходимо знать первоначальное расстояние и скорость сближения, так как tвстр. = S: ʋсбл. Поскольку расстояние известно по условию задачи, найдем скорость сближения. ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 км/ч. Теперь можем найти и искомое время встречи. tвстр. = S: ʋсбл = 315: 63 = 5 ч. Получили, что теплоходы встретятся через 5 часов.
§ 3 Задачи на движение вдогонку
При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость сближения - ʋсбл.; время до встречи - tвстр.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; первоначальное расстояние между объектами - S.
Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:
Зависимость между компонентами задач на движение вдогонку выражается следующими формулами:
1.Первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам:
S = ʋсбл. · tвстр.илиS = S1 - S2;
2.скорость сближения находится по формулам: ʋсбл. = S: tвстр. или ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2;
3.Время встречи вычисляется следующим образом:
tвстр. = S: ʋсбл., tвстр. = S1: ʋ1 или tвстр. = S2: ʋ2.
Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи.
Тигр погнался за оленем и догнал его через 7 минут. Каково первоначальное расстояние между ними, если скорость тигра равна 700 м/мин, а скорость оленя - 620 м/мин?
ʋ1 = 700 м/мин, ʋ2 = 620 м/мин, S = ? м, tвстр. = 7 мин.
Чтобы найти первоначальное расстояние между тигром и оленем, необходимо знать время встречи и скорость сближения, так как S =tвстр. · ʋсбл. Поскольку время встречи известно по условию задачи, найдем скорость сближения. ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 м/мин. Теперь можем найти и искомое первоначальное расстояние. S =tвстр. · ʋсбл = 7 · 80 = 560 м. Получили, что первоначальное расстояние между тигром и оленем составляло 560 метров.
§ 4 Задачи на движение в противоположных направлениях
При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость удаления - ʋуд.; время в пути - t.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; первоначальное расстояние между объектами - S0; расстояние, которое будет между объектами через определенное время - S.
Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:
Зависимость между компонентами задач на движение в противоположных направлениях выражается следующими формулами:
1.Конечное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам:
S = S0 + ʋуд.· tили S = S1 + S2 + S0; а первоначальное расстояние - по формуле: S0 = S - ʋуд. · t.
2.Скорость удаления находится по формулам:
ʋуд. = (S1 + S2) : t илиʋуд. = ʋ1 + ʋ2;
3.Время в пути вычисляется следующим образом:
t = (S1 + S2) : ʋуд., t = S1: ʋ1или t = S2: ʋ2.
Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи.
Два автомобиля выехали из автопарков одновременно в противоположных направлениях. Скорость одного - 70 км/час, другого - 50 км/час. Какое расстояние будет между ними через 4 часа, если расстояние между автопарками составляет 45 км?
ʋ1 = 70 км/ч, ʋ2 = 50 км/ч, S0 = 45 км, S = ? км, t = 4 ч.
Чтобы найти расстояние между автомобилями в конце пути, необходимо знать время в пути, первоначальное расстояние и скорость удаления, так как S = ʋуд. · t+ S0Поскольку время и первоначальное расстояние известны по условию задачи, найдем скорость удаления. ʋуд. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 км/ч. Теперь можем найти и искомое расстояние. S = ʋуд. · t+ S0 = 120 · 4 + 45 = 525 км. Получили, что через 4 часа между автомобилями будет расстояние в 525 км
§ 5 Задачи на движение с отставанием
При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость удаления - ʋуд.; время в пути - t.; первоначальное расстояние между объектами - S0; расстояние, которое станет между объектами через определенное количество времени - S.
Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:
Зависимость между компонентами задач на движение с отставанием выражается следующими формулами:
1.Первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующей формуле: S0 = S - ʋуд.· t; а расстояние, которое станет между объектами через определенное время, - по формуле: S = S0 + ʋуд. · t;
2.Скорость удаления находится по формулам: ʋуд.= (S - S0) : t или ʋуд. = ʋ1 - ʋ2;
3.Время вычисляется следующим образом: t = (S - S0) : ʋуд.
Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи:
Из двух городов в одном направлении выехали две машины. Скорость первой - 80 км/ч, скорость второй - 60 км/ч. Через сколько часов между машинами будет 700 км, если расстояние между городами 560 км?
ʋ1 = 80 км/ч, ʋ2 = 60 км/ч, S = 700 км, S0 = 560 км, t = ? ч.
Чтобы найти время, необходимо знать первоначальное расстояние между объектами, расстояние в конце пути и скорость удаления, так как t = (S - S0) : ʋуд. Поскольку оба расстояния известны по условию задачи, найдем скорость удаления. ʋуд. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 км/ч. Теперь можем найти и искомое время. t = (S - S0) : ʋуд = (700 - 560) : 20 = 7ч. Получили, что через 7 часов между машинами будет 700 км.
§ 6 Краткие итоги по теме урока
При одновременном встречном движении и движении вдогонку расстояние между двумя движущимися объектами уменьшается (до встречи). За единицу времени оно уменьшается на ʋсбл., а за все время движения до встречи оно уменьшится на первоначальное расстояние S. Значит, в обоих случаях первоначальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время движения до встречи: S = ʋсбл. · tвстр.. Разница лишь в том, что при встречном движении ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2, а при движении вдогонку ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2.
При движении в противоположных направлениях и с отставанием расстояние между объектами увеличивается, поэтому встреча не произойдет. За единицу времени оно увеличивается на ʋуд., а за все время движения оно увеличится на значение произведения ʋуд.· t. Значит, в обоих случаях расстояние между объектами в конце пути равно сумме первоначального расстояния и произведения ʋуд.· t. S = S0 + ʋуд.· t.Разница лишь в том, что при противоположном движении ʋуд. = ʋ1 + ʋ2, а при движении с отставанием ʋуд. = ʋ1 - ʋ2.
Список использованной литературы:
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
- Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
- Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
- CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювента, 2013.
Использованные изображения:
У нас есть множество причин благодарить нашего Бога.
Заметили ли вы, как в каждом году, активно и решительно организация Бога ускоряет ход, предоставляя множество даров!
Небесная колесница определенно находится в движении! На ежегодном собрании было сообщено: "Если вам кажется, что вы не успеваете за колесницей Иеговы пристегнитесь,чтобы не вылететь на повороте!":)
Видно, как благоразумный раб обеспечивает непрерывное движение , открывая для проповеди новые территории, подготавливая учеников и обретая все более полное понимание Божьих замыслов.
Поскольку верный раб полагается не на человеческую силу, а на руководство святого духа, совершенно очевидно, что верного раба ведет Божий дух!!!
Видно, что когда Руководящий совет видит необходимость уточнить какой-либо аспект истины или внести изменения в организационный порядок, он действует без промедления.
В Исаии 60:16 сказано, что народ Бога будет пользоваться молоком народов, что является сегодня передовыми технологиями.
Сегодня в руках организации
сайт, который соединяет и объединяет нас с нашим братством, и другие новинки, о которых вы уже наверняка знаете.
Только благодаря тому, что через своего Сына и Мессианское Царство Бог поддерживает и благословляет их, эти несовершенные люди могут одерживать победу над Сатаной и его нечестивой системой вещей.
Сравните тиражи и количество языков декабрьского и январского выпуска журнала "Сторожевой Башни" и "Пробудитесь"за 2014, 2015, 2016 года.
А нижес 1962 года.
Синим указан журнал "Сторожевая Башня", а красным журнал "Пробудитесь"
.jpg)
Тираж Сторожевой башни с января 2015 вырос до 58, 987,000 миллионов и уже переводится на 254 языка. На первой странице этого журнала, также появилась план-схема для преподнесения в служении.
Невероятно! А говорят, что чудес не бывает! Такой тираж настоящее чудо!
Какая же у наших публикаций!
С августа прошлого года (2014) рейтинг нашего сайта вырос на 552 позиции, улучшившись таким образом на 30 процентов.
Для некоммерческих сайтов это безусловный рекорд. Еще немного и сможем войти в топ-1000!!!
Почему они так поступают?
Представьте себе тонущий корабль. Там есть помимо всего прочего три группы людей.
Первые пытаются накормить пассажиров.
Вторые предлагают тёплые шубы.
Третьи помогают сесть в шлюпки и выбраться с корабля.
Кажется, что все делают добро. Но какое добро в данной ситуации имеет смысл? Ответ очевиден! Что толку, если кого-то накормить, одеть, а он все равно погибнет. Сначала надо пересесть с тонущего корабля и добраться до безопасного места, а потом уже накормить и обогреть.
Так же поступают Свидетели Иеговы - они делают людям добро, которое имеет смысл.
В то время как этот сосредоточенный на материальном мир чахнет от духовного голода, давайте развивать аппетит к духовной пище.
Не попадемся же в ловушку материализма!
Павел ТРИ РАЗА указывал на то, к кому и как мы должны проявлять заботу?
1Тм 2:1 Молитвы следует возносить «за людей всякого рода»
1Тм 2:4 Нужно, «чтобы люди всякого рода... пришли к точному знанию истины»
1Тм 2:6 Христос «отдал себя как соответствующий выкуп за всех»
Что поможет нам проявлять глубокую заботу обо всех и достигать проповедью людей всякого рода?
Для этого необходимо одно очень важное качество, которым обладает Иегова - нелицеприятие! (Де 10:34 )
Поистине, Иегова «нелицеприятен» (отношение) и «ни к кому не проявляет лицеприятия» (поступки)
Иисус проповедовал людям всякого рода. Помните, в своих примерах Иисус говорил о людях разного происхождения и социального положения: о земледельце, сеющем семя, о домохозяйке, делающей хлеб, о человеке, работающем в поле, о преуспевающем купце, который торгует жемчугом, о тяжело трудящихся рыбаках, которые закидывают сети (Мф 13:31—33, 44—48)
Факт: Иегова и Иисус желают, чтобы «люди всякого рода спаслись» и получили вечные благословения. Они не ставят одних людей выше других.
Урок для нас: чтобы подражать Иегове и Иисусу, нам нужно проповедовать людям всякого рода, независимо от их расы или жизненных обстоятельств.
Организацией Бога уже было много сделано для тех, кто говорит на иностранном языке, иммигрантов, студентов, беженцев, тех, кто живет в домах престарелых, в охраняемых комплексах, предпринимателей, заключенных, глухих, слепых, приверженцев не христианских религий и других.
]В настоящее время на территории России под надзором филиала в 578 собраний назначены заботиться о проповеди благой вести в исправительных учреждениях, которые закреплены за ними. Во многих из этих мест проводились встречи собрания, групповые и личные изучения Библии. Проповедь в таких местах помогает многим «облечься в новую личность» и служить истинному Богу, Иегове. Да, важно и дальше освящать имя Бога!
Поэтому будем ценить все, что происходит в Божьей организации. Будем учится умело пользоваться публикациями, выпущенными верным рабом, которые оформлены так, чтобы затрагивать сердце людей всякого рода. Ведь как мы обучаем себя, от этого будет зависеть как мы будем обучать других.
Так мы покажем, что проявляем глубокую заботу к «желанным сокровищам из всех народов», которых нужно еще привести.
Несомненно, мы, как и Петр, усвоили урок:
"нам некуда идти" — есть лишь одно место, находясь в котором мы не будем отставать от колесницы Иеговы и будем находится под защитой Бога-Творца,Иеговы(Ин 6:68).
